2進数・16進数入門 — コンピュータが数を扱うしくみ

私たちは普段 10進数で数を数えますが、コンピュータの内部はすべて 2進数（0 と 1）で動いています。そして、その2進数を人が読み書きしやすくまとめた表記が 16進数です。本記事では、まず「位取り記数法」という共通のしくみを押さえ、2進数・16進数（そして8進数）の考え方、相互変換の具体的な手順、255 = 11111111 = FF といった例までを、検算しながら正確に整理します。

1. 位取り記数法 — すべての基本は「桁の重み」

10進数の 253 が「253」を意味するのは、各桁に重みがあるからです。右から順に 1（10の0乗）、10（10の1乗）、100（10の2乗）…と、桁が一つ上がるごとに重みが 10 倍になります。

例：253 = 2×100 + 5×10 + 3×1 = 200 + 50 + 3

この「桁が上がるごとに何倍になるか」を 基数（base / 底）と呼びます。10進数の基数は 10、2進数は 2、16進数は 16、8進数は 8 です。使う数字（記号）の種類は基数と同じで、10進数なら 0〜9 の 10 種類、2進数なら 0 と 1 の 2 種類です。

• 基数 b の数では、右から k 番目（0 始まり）の桁の重みは b の k 乗。
• どの基数でも、各桁の数字 × その桁の重みを足し合わせれば値が求まります。
• 同じ「量」でも、基数が違えば見た目（表記）は変わります。たとえば「りんご 11111111 個」と「255 個」は同じ量です。

2. 2進数 — 0 と 1、ビット、なぜコンピュータは2進数なのか

2進数は基数が 2 で、使う数字は 0 と 1 の 2 種類だけです。桁の重みは右から 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… と 2 倍ずつ増えていきます。2進数の 1 桁を ビット（bit）と呼び、8 ビットをまとめた単位が バイト（byte）です。

例：2進数 1101 を10進数に直すと

1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

なぜコンピュータは2進数を使うのか

コンピュータの中身は無数の電子回路です。回路の素子（トランジスタ）は、「電圧が高い／低い」「電流が流れる／流れない」という2つの安定した状態を区別するのが得意です。この 2 状態を 1 と 0 に対応させれば、数も文字も命令もすべて表現できます。

• 状態が 2 つだけなら、多少のノイズがあっても 0 と 1 を取り違えにくく、回路を単純・高速・安価に作れます。
• もし 10 段階の電圧で 10 進数を直接扱おうとすると、わずかな電圧の揺らぎで隣の数字と区別できなくなり、信頼性が大きく下がります。
• こうした理由から、コンピュータの内部表現には一貫して 2 進数が使われています。私たちが見ている10進数や文字は、表示の段階で変換された「見せかけ」です。

3. 16進数 — 0〜9とA〜F、1桁=4ビット

16進数は基数が 16 で、1 桁で 0〜15 の 16 通りを表します。10〜15 には数字がないため、A（=10）、B（=11）、C（=12）、D（=13）、E（=14）、F（=15）というアルファベットを当てます。桁の重みは右から 1, 16, 256, 4096… と 16 倍ずつです。

例：16進数 2F を10進数に直すと

2F = 2×16 + F×1 = 2×16 + 15×1 = 32 + 15 = 47

なぜ16進数が便利なのか — 色コードやメモリ表示

16 は 2 の 4 乗なので、16進数の 1 桁がちょうど 2 進数の 4 桁（4 ビット）に対応します。この 4 ビットのまとまりを ニブル（nibble）と呼びます。つまり 2 進数を 4 桁ずつ区切って 16進数に置き換えるだけで、長い 0/1 の列を 4 分の 1 の長さで表記できます。

• 1 バイト（8 ビット）= 16進数 2 桁。たとえば 11111111 は FF と短く書けます。
• 色コード：Web の色 #RRGGBB は、赤・緑・青それぞれを 1 バイト（0〜255）で表し、16進数 2 桁ずつ並べたものです。#FF0000 は赤が最大（255）・緑と青が 0、つまり純粋な赤です。
• メモリダンプ・アドレス表示：メモリの中身やアドレスは 16進数で表示するのが定番です。バイト境界が 2 桁ごとにそろい、人が読みやすいためです。

4. 8進数にも少し触れておく

8進数は基数が 8 で、使う数字は 0〜7 です。8 は 2 の 3 乗なので、8進数の 1 桁は 2 進数の 3 桁に対応します。かつては 3 ビット単位が扱いやすい場面で広く使われ、現在も Unix／Linux のファイル権限（chmod 755 など）で目にします。

例：8進数 17 を10進数に直すと 1×8 + 7×1 = 8 + 7 = 15。ただし、現代のプログラミングでは 4 ビット単位の 16進数のほうが主流で、8進数の出番は限られます。

5. 相互変換の方法 — 手で計算してみる

基数どうしの変換は、いくつかの決まった手順で確実に行えます。代表的なものを、必ず検算しながら見ていきます。

10進数 → 2進数（割り算の繰り返し）

10進数を 2 で割り、余りを記録する作業を商が 0 になるまで繰り返します。最後に余りを下から上へ読むと 2進数になります。例：13 を 2進数へ。

• 13 ÷ 2 = 6 余り 1
• 6 ÷ 2 = 3 余り 0
• 3 ÷ 2 = 1 余り 1
• 1 ÷ 2 = 0 余り 1

余りを下から読むと 1101。検算：8+4+0+1 = 13 で一致します。

2進数 → 10進数（重みの掛け算）

各ビットに桁の重み（…8 4 2 1）を掛けて足すだけです。例：1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。これは上の割り算の逆操作になっています。

2進数 ↔ 16進数（4桁ずつまとめる）

ここが 16進数の便利なところです。2進数を右から 4 桁ずつ区切り、各 4 桁を 16進数 1 桁に置き換えます（足りなければ左を 0 で埋める）。例：11111111 を 16進数へ。

• 右から 4 桁ずつ区切る：1111 | 1111。
• 1111 = 8+4+2+1 = 15 = F。
• よって 11111111 = FF。逆に FF は各桁を 4 ビットに展開して 1111 1111 に戻せます。

0〜15 の対応を一覧にすると、2進数・16進数の関係（4 ビット = 1 桁）がよく見えます。

6. 負数とビット幅 — もう一歩だけ深く

ここまでは 0 以上の数（非負整数）だけを扱いました。実際のコンピュータでは、値を入れる「箱」の大きさ＝ビット幅があらかじめ決まっています。8 ビット、16 ビット、32 ビット、64 ビットなどです。8 ビットなら表せるのは 0〜255 の 256 通り（2 の 8 乗）です。

• 幅が決まっているため、最大値を超える計算はあふれ（オーバーフロー）を起こします。8 ビットで 255 + 1 をすると、桁あふれして 0 に戻る、という挙動が起こり得ます。
• 負の数を表すために、多くの環境では 2 の補数という方式を使います。一番上のビットを符号の役割に使い、たとえば 8 ビットの符号付き整数では -128〜127 を表します。-1 は 8 ビットで 11111111 と表現されます。
• 同じビットの並び 11111111 でも、「符号なし」として読めば 255、「符号付き（2 の補数）」として読めば -1 になります。どの幅で・どう解釈するかが決まって初めて値が定まる、という点が重要です。

2 の補数や浮動小数点（小数の表し方）は、それ自体が一つのテーマになるほど奥が深いので、ここでは「ビット幅と解釈によって意味が変わる」というところまで押さえれば十分です。